SISTEM PERTIDAKSAMAAN

Pertidaksamaan adalah suatu kalimat matematika yang mengandung satu atau lebih peubah dan relasi.  Seperti halnya persamaan, menyelesaikan pertidaksamaan merupakan suatu proses mendapatkan suatu bilangan sehingga pertidaksamaan tersebut menjadi proporsi yang benar. Bilangan yang diperoleh nantinya merupakan nilai penyelesaiian untuk suatu pertidaksamaan yang dicari. Himpunan semua nilai pertidaksamaan merupakan himpunan penyelesaian (himpunan terselesaikan).

Sifat-Sifat Pertidaksamaan

1. tanda pertidaksamaan tidak berubah jika kedua ruas ditambah atau dikurangi dengan bilangan yang sama

Jika a < b maka:

a + c < b + c

a – c < b – c

2. tanda pertidaksamaan tidak berubah jika kedua ruas dikali atau dibagi dengan bilangan positif yang sama

Jika a < b, dan c adalah bilangan positif, maka:

a.c < b.c

a/b < b/c

3. tanda pertidaksamaan akan berubah jika kedua ruas pertidaksamaan dikali atau dibagi dengan bilangan negatif yang sama

Jika a < b, dan c adalah bilangan negatif, maka:

a.c > b.c

a/c > b/c

4. tanda pertidaksamaan tidak berubah jika kedua ruas positif masing-masing dikuadratkan

Jika a < b; a dan b sama-sama positif, maka: a² < b²

   Pertidaksamaan linier satu peubah atau variabel

Pertidaksamaan linier satu peubah adalah pertidaksamaan yang hanya memuat sebuah peubah dan pangkat dari peubahnya adalah satu. Pertidaksamaan dengan pangkat tertinggi dari variable (peubah) adalah satu Himpunan penyelesaian pertidaksamaan dapat ditulis dalambentuk  notasi himpunan atau dengan garis biangan.

Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan di bawah ini !

a. 3x – 5 > 7                                              b. 3x + 4 ≤ 5 ( x - 1 )

Jawab :                                                      Jawab :

3x – 5 >7                                                   3x + 4 ≤ 5 ( x - 1 )

3x > 7 + 5                                                  3x + 4 ≤ 5 x - 5

3x >12                                                        3x – 5x ≤ -5 – 4

x> 12/3                                                       -2x ≤ -9

x >4                                                             x ≥ 9/2

HP = { x │x > 4,  x Є R }                         HP = { x │x ≥ 9/2,  x Є R }    

   Pertidaksamaan Kuadrat

Suatu kalimat terbuka yang memuat variabel dengan pangkat positif dan memiliki pangkat tertinggi dua dihubungkan dengan tanda disebut pertidaksamaan kuadrat.

Bentuk umum pertidaksamaan kuadrat :

ax² + bx + c > 0

ax² + bx + c ≥ 0

ax² + bx + c < 0

ax² + bx + c ≤ 0

dengan a, b, dan c Є R dan a ≠ 0.

·         Menyelesaikan Pertidaksamaan Kuadrat

Menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat lebih mudah apabila menggunakan garis bilangan. Menentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat berbedacara dengan menentukan suatu himpunan penyelesaian pertidaksamaan linear. Pada pertidaksamaan linear, dapat langsung menentukan daerah penyelesaian setelah memperoleh himpunan penyelesaiannya sedangkan pada pertidaksamaan kuadrat harus menentukan daerahnya terlebih dahulu untuk dapat menentukan himpunan penyelesaiannya.

  

Langkah Langkah Menentuka Himpunan Penyelesaian Pertidaksamaan Kuadrat

1. Menentukan akar-akar dari pertidaksamaan kuadrat himpunan penyelesaian
    pertidaksamaan kuadrat.

2. Membuat garis bilangan yang sesuai hasil pada nomor 1.

3. Menentukan titik uji.

4. Menentukan tanda untuk masing-masing daerah penyelesaian.

5. Menentukan himpunan penyelesaian

Himpunan Penyelesaian Pertidaksamaan Kuadrat

Hasil dari daerah yang memenuhi pertidaksamaan kuadrat biasanya disajikan dalam bentuk himpunan. Pada bagian ini,  akan mempelajari cara menentukan notasi himpunan dari garis bilangan. Berikut ini adalah tabel cara membaca himpunan penyelesaian dari garis bilangan yang diberikan secara umum.

 

contoh soal pertidaksamaan kuadrat:

x² + 4x – 12 > 0

Jawab:

x²+ 4x – 12 > 0

x² + 4x – 12 = 0

(x + 6 ) (x - 2) = 0

x + 6 = 0 atau x - 2 = 0

PERTIDAKSAMAAN PECAHAN KUADRAT

Definisi
Pertidaksamaan Kuadrat adalah pertidaksamaan (dilambangkan dengan tanda > < ≥ ≤) yang penyebutnya memiliki variabel x.

Bentuk Umum

Metode Penyelesaian

1. Ruas kanan dijadikan 0. Operasi dilakukan di ruas kiri. Ingat! jangan di kali silang
2. Bila mengandung operasi kuadrat, maka faktorkan.
3. Tentukan harga nol dari variabel x.
4. Masukkan seluruh harga nol x ke dalam garis bilangan.
   Bila harga x merupakan pembilang dan tanda pertidaksamaan ≥ ≤, maka ditandai dengan titik hitam •, bila tanda pertidaksamaan > <, maka ditandai dengan titik putih °
   Bila harga x merupakan penyebut  maka ditandai dengan titik putih °
5. Lakukan uji titik menggunakan angka diantara salah satu interval.
   Misal: harga-harga nol x adalah -3, -1, 4, 7, 9. Maka angka 0 (antara -1 dan 4) dapat digunakan.
6. Ubah x di dalam pertidaksamaan menjadi angka uji titik. Lalu lakukan operasi.
   Bila hasil operasi adalah positif, maka interval lokasi angka tersebut bertanda positif, dan kanan kirinya negatif serta seterusnya (selang-seling).
   Misal: harga-harga nol x adalah -3, -1, 4, 7, 9. Uji titik menggunakan angka 0 hasilnya negatif. Maka pada garis bilangan sebagai berikut

   

   
   

7. Tentukan himpunan penyelesaian

contoh 2

.
Harga nol pembilang: –5x + 20 = 0
–5x = –20 → x = 4
 

Harga nol penyebut: x – 3 = 0 → x = 3
Garis bilangan: → x = 3 digambar menggunakan titik putih karena merupakan harga nol untuk penyebut

Jadi penyelesaiannya: {x | 3 < x ≤ 4}